欧拉定理[编辑]

欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f
(x)等等，至今沿用。　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。

定理内容

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)
= 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明

首先证明下面这个命题：

对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S
= {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

则S = Zn

1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此

任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素

2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj

则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn

既然这样，那么

（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)

= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod
n)）(mod n)

= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

考虑上面等式左边和右边

左边等于([a^φ(n)] *（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)

右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质

根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

费马定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论：对于任意正整数a，有a^p ≡
a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立

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